roentgen Maja Temerinac Nemacka
Član broj: 14740 Poruke: 2 *.dip.t-dialin.net
|
Evo ga resenje zadatka:
Pronaci sve funkcije y = f(x) koje zadovoljavaju f( f(x) ) = -x.
Postoje dva puta: geometrijsko resenje i analiticko resenje.
Za oba resenja je zgodno koristiti modifikovanu formu zadatka:
(1) f-1(x) = f(-x) <=> f( f(x) ) = -x.
Geometrijsko resenje:
Definisimo pomocnu funkciju
(2) g(x) = f(-x).
Na osnovu (1) vazi ce da je g(x) inverzna funkcija od f(x).
Geometrijski to znaci da je g(x) slika od f(x) u odnosu na osu simetrije y= x.
Opet na osnovu (2) vazi da je g(x) slika od f(x) u odnosu na osu simterije
x = 0 (apscisu).
Zakljucak: f(x) mora posedovati osobinu jedne slozene simetrije koja se
definise na sledeci nacin
Slika f(x) u odnosu na osu simterije y = x preslikana jos jednom u odnosu
na osu simetrije x = 0 mora biti jednaka samoj funkcija f(x).
Primer: Jednacina kruga x2 + y2 = r2 ispunjava taj uslov.
Na osnovu geometrijskog resenja se dolazi i do jedne teoreme znacajne za
analiticko resenje:
Teorema: Ako tacka (d,c) pripada trazenoj fukciji:
(3) c = f(d)
onda i tacka (-c,d) mora pripadati toj funkciji:
(4) d = f(-c).
Dokaz: Iz (3) sledi:
d = f-1(c)
a to kombinovano sa (1) daje direktno (4).
Analiticko resenje:
Primer sa krugom, jednom funkcijom u implicitnoj formi, pokazuje jedan put
moguce generalizacije
koristeci opstu implicitnu formu jedne realne funkcije y = f(x),
definisane
na ideji Taylorovog polinomialnog razvoja:
(5) a(0,0) + a(0,1)*y + a(1,0)*x + a(1,1)*x*y + a(1,2)*x*(y2) +
a(2,1)*(x2)*y + a(2,2)*(x2)*(y2) + .... = 0
Pri cemu su sve moguce funkcije definisane kroz razlicite setove
koeficijenata a(n,k) / {n,k} = 0,1,2,....
Ako se u pomoc prizove i malo matricnog racuna, jednacine se daju
elegantnije procesirati. Za to je dovoljno definisati
vektor:
(6) T{V[x]} = [1, x, x2, ...]
gde T{*} oznacava "transponovani" vektor ili matricu,
i matricu koeficijenata:
(7) A=
|a(0,0) a(0,1) .|
|a(1,0) a(1,1) .|
|. . . |
Od pomoci ce biti i jednostavna relacija:
(8) V[-x] = J x V[x],
gde je J dijagonalna matrica (svi elementi sem na glavnoj dijagonali su
nule) pri cemu se na glavnoj dijagonali
naizmenicno smenjuju: +1, -1, +1, ....
Matricno napisana opsta implicitna forma (5) glasi:
(9) T{V[x]} x A x V[y] = 0.
Na osnovu Teoreme ona mora istovremeno vaziti za tacku (d,c):
(10) T{V[d]} x A x V[c] = 0
i za tacku (-c,d):
(11) T{V[-c]} x A x V[d] = 0,
za proizvoljne realne brojeve "d" i "c". Uz pomoc osnovnog matricnog
racuna
i relacije (8) poslednja
jednacina se da modifikovati u jednu formu pogodnu za poredjenje sa (10):
(12) T{V[d]} x T{A} x J x V[c] = 0.
Posto (10) i (12) treba da vaze za bilo koju tacku (d,c), sledi uslov za
matricu koeficijenata:
(13) A = T{A} x J
Iz matricnog racuna ostaje da se dokazu sledeca pravila za
konstrukciju, na osnovu (13),
matrice koeficijenata opste implicitne forme funkcije (1):
- na svim pomocnim neparnim dijagonalama su svi koeficijenti nula;
- na glavnoj dijagonali su svi koeficijenti na neparnim pozicijama nula;
- na svim pomocnim parnim dijagonalama iznad glavne koeficijenti su
zavisni od koeficijenata na parnim dijagonalama ispod glavne na
simetricnim pozicijama:
. koeficijenti u parnim kolonoma iznad glavne dijagonale su jednaki
simetricnim koeficijentima ispod glavne dijagonale;
. koeficijenti u neparnim kolonoma iznad glavne dijagonale su jednaki
sa negativnim simetricnim koeficijentima ispod glavne dijagonale; i
. koeficijenti na parnim pomocnim dijagonalama ispod glavne kao i na
parnim pozicijama na glavnoj dijagonali su proizvoljni realni brojevi.
Primer: Za (n,k) = 0,1,2,3
A=
|a(0,0) 0 a(2,0) 0 |
|0 0 0 -a(3,1) |
|a(2,0) 0 a(2,2) 0 |
|0 a(3,1) 0 0 |
pri cemu su a(0,0), a(2,0), a(3,1) i a(2,2) proizvoljni realni brojevi.
Naprimer za: a(0,0) = -1 i a(2,0) = a(3,1) = a(2,2) = 1 dobija se funkcija
u
implicitnoj formi (5):
-1 + x2 + y2 + (x2)*(y2) + (x3)*y - x*(y3) = 0
koja zadovoljava uslov (1).
Dobijeno resenje se moze lako prosiriti i na kompleksne funkcije koristeci
Laurent-ov polinomijalni razvoj kompleksne funkcije
umesto Taylor-ovog razvoja realnih funkcija. Sa time se matrica A
produzuje
i na stranu negativnih indeksa (n,k) = ..., -1, 0, +1, ...
Tada su naravno i koeficijenti u matrici A kompleksni brojevi. Medjutim
pravila konstrukcije matrice A ostaju vrlo slicna.
[Ovu poruku je menjao roentgen dana 21.11.2003. u 02:29 GMT]
|